Elsa och Anna när det gäller Frozen character alliances har jag alltid varit Team Anna. Vi är båda modiga yngre systrar som är hungriga efter kärlek och kör lite grått på hårfästet.

det är inte så att jag aktivt ogillar Elsa. Faktiskt, jag beundrar henne ganska. Hon har suverän auktoritet, isigt utseende, och—viktigast av allt—en behärskning av fraktaler.

Elsas fraktaler är isen hon producerar som ett resultat av hennes krafter. De utarbetade strukturerna är gjorda av enskilda kristaller, som var och en är en reducerad kopia av helheten.

 frysta fraktaler

frysta fraktaler

i tekniska termer är en fraktal ett oändligt mönster (vare sig det är naturligt, konstgjorda eller matematiska) som upprepar sig i olika skalor. Du vet att du tittar på en fraktal när du kan zooma in och ut och se samma former på alla nivåer.

Cross ett exempel hjälper. Tänk på det kvadratiska korset (bilden ritad-In-progress). Du gör en genom att rita en vertikal linje (lång vertikal i mitten) och dela den i rätt vinkel (lång horisontell linje i mitten). Bisektionen gör fyra korta segment, som du sedan bisektar i rätt vinkel. Vid denna tidpunkt har du åtta korta segment, som var och en kan delas. Och så vidare, och så vidare ad infinitum.

per definition är en fraktal aldrig komplett, men när som helst i processen kan du zooma in eller ut ur det kvadratiska korset och hitta dig själv på en linje som bisects—och bisected by—en annan linje i rätt vinkel. Varje sektion av fraktalen är en reducerad kopia av helheten.

vill du ha en annan? Vad sägs om Sierpinski-triangeln? Den är gjord genom att upprepade gånger ta bort den mellersta triangeln från den tidigare generationen. Börja med en uppåtriktad liksidig triangel och föreställ dig att den består av fyra mindre liksidiga trianglar. Ta bort den nedåtpekande i mitten. Du är kvar med tre uppåtriktade liksidiga trianglar. För var och en av dem, ta bort den nedåtpekande i mitten. Tvätta, skölj, upprepa. Sierpinski.

680px-Sierpinski_triangle_evolution_svgeller kanske Koch-kurvan är mer din stil. I icke-tekniska termer är ”generatorformen” en linje med en triangelspets i mitten. Formen består av fyra segment: två segment som tillsammans föreslår en rak linje och två segment som tillsammans föreslår en punkt. Byt ut vart och ett av de fyra segmenten med en kopia av generatorformen. Nu har vart och ett av de fyra segmenten blivit fyra segment (två som föreslår en linje och två som föreslår en punkt). Byt ut vart och ett av dessa fyra segment med en kopia av generatorformen.

 Koch kurva

Koch kurva

vid varje steg, de raka linjerna mer ungefärliga kurvor, och den totala längden på ”kurvan” kommer närmare oändligheten.

Kock Snowflakejag ska göra dig en bättre: Koch Snowflake.

det är här Elsa tjänar sina pengar.

börja med en liksidig triangel. Föreställ dig varje ben i triangeln som består av tre lika segment. För varje ben ritar du en annan liksidig triangel som har mittsegmentet som bas. Ta bort baserna på de nya trianglarna. Föreställ dig varje (kortare) ben på den nya strukturen som består av tre lika stora segment. För varje nytt ben ritar du en annan liksidig triangel som har mittsegmentet som bas.

liksom den oändliga (och vackra) Crystal Renn går den från skarp och vinklad till frodig och krökt ju mer den utvecklas.

allt detta kanske låter tekniskt och pedantiskt, men jag slår vad om att du kunde granska din oeuvre av doodles, skulle du hitta många fraktaler och halvfraktaler du utvecklade på flugan.

och det är självklart, eftersom fraktaler finns över hela den naturliga världen. Påtagliga (i motsats till matematiska eller geometriska) fraktaler är inte oändliga och visar inte ”exakt självlikhet”, men om du är inställd kommer du att se exempel på naturliga (och konstgjorda) fenomen ”förgrening” eller approximera samma mönster i olika skalor. Här är några jag lyckats fånga:

fraktaler finns överallt: kristaller, cirkulationssystemet, broccoli, Saturns ringar, frost, havsvågor och blixtbultar.

Farley Katz giraff

fraktaler har tagit sig in i konst, såsom Katsushika Hokusai ’ s The Great Wave (visas ovan) och en tecknad film av Farley Katz.

 Matryoshka docka

Matryoshka docka

även om de inte faktiskt (och inte påstår sig vara) fraktaler, är självlikheten hos Matryoshka dockor till hjälp för att illustrera begreppet en exakt kopia i varje skala.

Medusa

under sommaren var McNay Art Museum värd för ”Beauty Reigns”, som innehöll utarbetad samtida konst, av vilka några verkade fraktalinspirerade. Med andra ord: ”Medusa” (2013) av Susan Chrysler White.

när du förstår fraktaler blir allt om föräldraskap lättare.

det är faktiskt inte sant. Men en fungerande kunskap om fraktaler ger dig ytterligare ett verktyg för att engagera och underhålla dina barn. Jag lärde min nästan femåring hur man ritar ett kvadratiskt kors. Äldre barn kan skapa Sierpinski trianglar och även de mer komplicerade Koch former.

VW Logo

det är kul att märka och påpeka fraktaler i världen runt dig. Jag märkte nyligen att Volkswagon-logotypen (minus cirkeln) är den första iterationen av en fraktal. Extrapolera det genom att orsaka varje bottenpunkt i varje ” W ”för att ansluta till mittpunkten för en ny”W.”

bonuspoäng om du kryper igenom en parkeringsplats och tar en oavsiktlig selfie i någon annan Bilägares krom.

 kedjelänk inte fraktal

kedjelänk inte fraktal

de första dagarna är berusande. Du tror att du ser fraktaler överallt. Kom dock ihåg att för att skapa en fraktal måste varje nivå av sönderdelningen skapa minst två skalade kopior.

gå tillbaka till det kvadratiska korset: varje nivå (ett nytt linjesegment som halverar det tidigare linjesegmentet) skapar två nya linjesegment som var och en kan delas. Eller Sierpinski-triangeln: genom att ta bort mittentriangeln från första generationens triangel skapar du tre skalade kopior av första generationens triangel.

av denna anledning är ett schackbräde eller kedjelänk staket inte en fraktal. Mönstret upprepas, men varje iteration skapar bara en skalad kopia.

en förståelse för fraktaler ger dig och dina barn ytterligare en lins för att se och dela världen. Vår oändliga nationella besatthet med Frozen ger dig det perfekta tillfället att använda Elsas lyrik som en hopppunkt för ett ämne som pekar på matematik, natur och konst.

jag kan personligen inte vänta på den efterlängtade helt spekulativa uppföljaren, Frozen II: The Thaw, där Anna bränner ner den med en fackelsång om palindrom.

kunde var jag ere jag såg Elba, verkligen.

särskilt tack till min medbidragsgivare, Inga, för hennes heads-up re: ”skönhet regerar.”