Elsa et Anna Quand il s’agit d’alliances de personnages gelées, j’ai toujours été l’équipe Anna. Nous sommes toutes les deux de jeunes sœurs courageuses qui ont faim d’amour et qui courent un peu de gris à la racine des cheveux.

Ce n’est pas que je n’aime pas activement Elsa. En fait, je l’admire un peu. Elle a une autorité souveraine, une beauté glacée et, surtout, une maîtrise des fractales.

Les fractales d’Elsa sont la glace qu’elle produit grâce à ses pouvoirs. Les structures élaborées sont constituées de cristaux individuels, chacun étant une copie de taille réduite de l’ensemble.

 Fractales congelées

 Fractales gelées

En termes techniques, une fractale est un motif sans fin (qu’il soit naturel, artificiel ou mathématique) qui se répète à différentes échelles. Vous savez que vous regardez une fractale lorsque vous pouvez zoomer et dézoomer et voir les mêmes formes à tous les niveaux.

Cross Un exemple vous aidera. Considérons la croix quadratique (illustrée dessinée en cours). Vous en créez un en traçant une ligne verticale (longue verticale au centre) et en la coupant à angle droit (longue ligne horizontale au centre). La bissection fait quatre segments courts, chacun d’entre eux étant ensuite coupé en deux à angle droit. À ce stade, vous avez huit segments courts, chacun pouvant être divisé en deux. Et ainsi de suite, et ainsi de suite à l’infini.

Par définition, une fractale n’est jamais complète, mais à tout moment du processus, vous pouvez zoomer ou dézoomer sur la croix quadratique et vous retrouver sur une ligne qui coupe en deux — et est coupée en deux par — une autre ligne à angle droit. Chaque section de la fractale est une copie de taille réduite de l’ensemble.

Vous en voulez un autre? Et le triangle de Sierpinski ? Il est fabriqué en retirant à plusieurs reprises le triangle du milieu de la génération précédente. Commencez par un triangle équilatéral orienté vers le haut et imaginez-le composé de quatre triangles équilatéraux plus petits. Retirez celui qui pointe vers le bas au centre. Il vous reste trois triangles équilatéraux pointant vers le haut. Pour chacun d’entre eux, retirez celui qui pointe vers le bas au centre. Laver, rincer, répéter. Sierpinski.

680px-Sierpinski_triangle_evolution_svg Ou peut-être que la courbe de Koch est plus votre style. En termes non techniques, la « forme du générateur » est une ligne avec une pointe triangulaire au milieu. La forme comprend quatre segments: deux segments qui suggèrent ensemble une ligne droite et deux segments qui suggèrent ensemble un point. Remplacez chacun des quatre segments par une copie de la forme du générateur. Maintenant, chacun des quatre segments est devenu quatre segments (deux qui suggèrent une ligne et deux qui suggèrent un point). Remplacez chacun de ces quatre segments par une copie de la forme du générateur.

 Courbe de Koch

 Courbe de Koch

À chaque étape, les lignes droites courbes plus approximatives, et la longueur totale de la « courbe » se rapproche de l’infini.

 Flocon de neige Kock Je vous ferai mieux: le Flocon de neige Koch.

C’est là qu’Elsa gagne son argent.

Commencez par un triangle équilatéral. Envisagez chaque jambe du triangle comme comprenant trois segments égaux. Pour chaque jambe, dessinez un autre triangle équilatéral qui a le segment du milieu comme base. Retirez les bases des nouveaux triangles. Envisagez chaque jambe (plus courte) de la nouvelle structure comme comprenant trois segments égaux. Pour chaque nouvelle jambe, dessinez un autre triangle équilatéral qui a le segment du milieu comme base.

Comme l’inimitable (et beau) Cristal Renn, il passe de tranchant et angulaire à luxuriant et incurvé plus il se développe.

Tout cela peut sembler technique et pédant, mais je parie que si vous pouviez revoir votre œuvre de griffonnages, vous trouveriez beaucoup de fractales et de semi-fractales que vous avez développées à la volée.

Et cela va de soi, car les fractales sont partout dans le monde naturel. Les fractales tangibles (par opposition aux fractales mathématiques ou géométriques) ne sont pas infinies et ne montrent pas « d’auto-similitude exacte », mais si vous êtes à l’écoute, vous verrez des exemples de phénomènes naturels (et artificiels) « se ramifiant » ou se rapprochant du même modèle à différentes échelles. En voici quelques-uns que j’ai réussi à capturer:

Les fractales sont partout: les cristaux, le système circulatoire, le brocoli, les anneaux de Saturne, le gel, les vagues de l’océan et les éclairs.

 Girafe de Farley Katz

Les fractales ont fait leur chemin dans l’art, comme La Grande Vague de Katsushika Hokusai (ci-dessus) et un dessin animé de Farley Katz.

 Poupée Matriochka

 Poupée Matriochka

Bien qu’elles ne soient pas réellement (et ne prétendent pas être) des fractales, l’auto-similitude des poupées Matriochka est utile pour illustrer le concept d’une réplique exacte à chaque échelle.

Medusa

Au cours de l’été, le Musée d’art McNay a accueilli « Beauty Reigns », qui présentait de l’art contemporain élaboré, dont certains semblaient d’inspiration fractale. À l’esprit: « Medusa » (2013) de Susan Chrysler White.

Une fois que vous comprenez les fractales, tout sur la parentalité devient plus facile.

En fait, ce n’est pas vrai. Cependant, une connaissance pratique des fractales vous donne un outil de plus pour engager et divertir vos enfants. J’ai appris à mon enfant de presque cinq ans à dessiner une croix quadratique. Les enfants plus âgés sont capables de créer des triangles de Sierpinski et même des formes de Koch plus compliquées.

 Logo VW

C’est amusant de remarquer et de signaler des fractales dans le monde qui vous entoure. J’ai récemment remarqué que le logo Volkswagen (moins le cercle) est la première itération d’une fractale. Extrapolez-le en faisant en sorte que chaque point inférieur de chaque « W » se connecte à l’apex central d’un nouveau « W ».

Points bonus si vous vous glissez dans un parking et prenez un selfie accidentel dans le chrome d’un autre propriétaire de voiture.

 Maillon de chaîne Non Fractal

 Maillon de chaîne Non Fractal

Les premiers jours sont enivrants. Vous penserez voir des fractales partout. Rappelez-vous, cependant, que pour créer une fractale, chaque niveau de la décomposition doit créer au moins deux copies à l’échelle.

Revenez à la croix quadratique: chaque niveau (un nouveau segment de ligne qui coupe en deux le segment de ligne précédent) crée deux nouveaux segments de ligne qui peuvent chacun être coupés en deux. Ou le Triangle de Sierpinski: en supprimant le triangle central du triangle de première génération, vous créez trois copies à l’échelle du triangle de première génération.

Pour cette raison, une clôture en damier ou en chaînette n’est pas une fractale. Le motif est répété, mais chaque itération ne crée qu’une seule copie mise à l’échelle.

La compréhension des fractales vous donne, à vous et à vos enfants, un objectif de plus à travers lequel voir et partager le monde. Notre obsession nationale sans fin pour Frozen vous donne l’occasion idéale d’utiliser les paroles d’Elsa comme point de départ pour un sujet qui pointe vers les mathématiques, la nature et l’art.

Personnellement, j’ai hâte à la suite très attendue et entièrement spéculative, Frozen II: The Thaw, dans laquelle Anna la brûle avec une chanson de torche sur les palindromes.

J’ai pu saw J’ai vu Elbe, en effet.

Un merci spécial à ma co-contributrice, Inga, pour son heads-up re: « La beauté règne. »